Honlapunk alsó tartalma 1360*768 pixel
képernyőfelbontásnál kisebb érték esetén
a görgetősáv használatával érhető el.

Lapszámok

Kérjük válasszon
2015

2015 6. szám

Hozzászólások

A matematikai statisztika gyakorlati alkalmazása a légtechnikában (LEKTORÁLT CIKK)

Még nem érkezett hozzászólás!

részletek »

Both Balázs - Dr. Goda Róbert PhD

A matematikai statisztika gyakorlati alkalmazása a légtechnikában (LEKTORÁLT CIKK)

Both Balázs

egyetemi tanársegéd
Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem, Gépészmérnöki Kar, Épületgépészeti és Gépészeti Eljárástechnika Tanszék

Dr. Goda Róbert PhD

egyetemi adjunktus, laborvezető
Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem, Gépészmérnöki Kar, Épületgépészeti és Gépészeti Eljárástechnika Tanszék

Bevezetés

Az épületgépészetben – akárcsak a mérnöki szakma számos más területén – elengedhetetlenül szükséges bizonyos mérések elvégzése és eredményeik korrekt elemzése, értékelése. A mérések nem megfelelő kivitelezése – ami legtöbbször a vonatkozó szabványok ajánlásainak elhanyagolásából adódik – és helytelen értékelése számos üzemi és gazdaságossági problémához vezethet. A mérnök elnevezés sem véletlenül alakult ki, mivel közvetlenül utal a mérésre, mint a mérnöki munka egyik lényeges feladatára.

Az épületgépészeti rendszerelemek gyártásánál, fejlesztésénél, valamint a komplex rendszerek helyszíni beüzemelésénél, a komfort vizsgálatánál elengedhetetlenül fontos lehet különféle mérések elvégzése, ami a mérnöki információszerzés egyik fontos eszköze. Mint ismeretes, a mindenkor felmerülő mérnöki problémák megoldása háromféle módszerrel lehetséges: analitikus, numerikus és kísérleti módszer. A mérés, mint a kísérleti módszer egyik legelterjedtebb változata, számos esetben gazdaságosabb és kevésbé időigényes módszer, mint a másik kettő.

A légtechnikával, mint épületgépészeti szakággal napi szinten foglalkozó mérnökök között valószínűleg kevesen vannak azok, akik valamilyen formában ne találkoztak volna légtechnikai mérésekkel. Elég, ha a légtechnikai rendszerek helyszíni beüzemelésére gondolunk – például a beszabályozás, vagy a szellőztetett terekben végzett hő- és huzatkomfort vizsgálatok. Természetesen ide sorolhatjuk a gyártók versenyképességének fenntartásához nélkülözhetetlen fejlesztéseket – például anemosztátok, hőcserélők, légkezelők fejlesztése –, melyeknek szintén fontos részét képezi a méréses vizsgálatok elvégzése.

 

Alapfogalmak, elméleti háttér

Tekintettel a matematikai statisztika szerteágazó alkalmazására és a terjedelmi korlátokra, itt csak a cikk szempontjából legfontosabb alapokat foglaljuk össze, ezért megadjuk azokat a főbb magyar nyelvű szakirodalmakat, amelyek közérthetően, példákkal illusztrálva foglalkoznak a statisztikai módszerek mérnöki alkalmazásaival [1-5].

Minden egyes mért fizikai mennyiség valószínűségi változónak tekinthető, hiszen egy várható érték körül véletlenszerűen ingadozik, azonban statisztikai módszerekkel meghatározható, hogy mekkora valószínűséggel esnek adott határok közé, tehát mekkora az ingadozás mértéke. A mért értékek sokaságot alkotnak és a vizsgálataink célja e sokaság megismerése. Ennek az alapsokaságnak a teljes körű vizsgálata sem időben, sem a rendelkezésre álló költségek tekintetében nem lehetséges, ezért a sokaságból n elemű mintát veszünk, és azt elemezzük.

Minden egyes valószínűségi változó valamilyen eloszlást követ, mely lehet folytonos, vagy diszkrét. Diszkrét eloszlások esetében a valószínűségi változó csak bizonyos értékeket vehet fel (például csak egész számokat), míg folytonos eloszlások esetében a valószínűségi változók bármilyen értéket felvehetnek egy intervallumon belül, vagy akár az egész számegyenesen. Mérnöki szempontból az egyik leggyakrabban előforduló folytonos eloszlás a normális (vagy Gauss-féle) eloszlás, amely jellemezhető a várható értékkel és a varianciával. Egy valószínűségi változó várható értéke (µ) bizonyos értelemben az eloszlásának a középpontját határozza meg a sokaságban, melynek a mintabeli becslése a számtani átlag (x). A sokaság varianciája (σ) a mért változók szóródásának egyik fontos tulajdonsága, amelynek mintabeli becslése a korrigált tapasztalati szórás, vagy röviden csak szórás (s). A szórás a mintában azt mutatja meg, hogy a mért, vagy megfigyelt adatok mennyire szóródnak az átlag körül.

A mintavétellel megvizsgált adatok száma – a minta terjedelme – általában csak néhány százaléka a teljes sokaságnak, ezért a mérési adatok alapján statisztikai hipotézist állítunk fel, ami alkalmas arra, hogy adott valószínűségi szinten statisztikailag korrekt véleményt alkossunk a mért mintáról. Ezt követően különböző statisztikai próbák alkalmazása után döntünk, hogy elfogadjuk vagy elvetjük a felállított hipotézisünket. A statisztikai hipotézisvizsgálat abból indul ki, hogy a statisztikai terminológiával megfogalmazott állítást igaznak feltételezi. Ez a feltételezés a nullhipotézis (H0). Az állításunktól eltérő összes lehetőségek együttesét ellenhipotézisnek (H1) vagy alternatív hipotézisnek nevezzük.

Minden egyes statisztikai próbához, vagy hipotézisvizsgálathoz tartozik egy próbastatisztika és egy kritikus érték. A próbastatisztika egy, a mintából számított mennyiség, ami rendszerint a sokaság paramétereinek a becslése.

A kritikus érték a statisztikai hipotézis elfogadásának és elutasításának határát jelöli ki. A kritikus érték függ a minta elemszámától, a választott valószínűségi szinttől és a szabadsági foktól. A különböző statisztikai próbákhoz tartozó kritikus értékek megtalálhatók az [1-5] irodalmakban. A szabadsági fok (ν) megadja, hogy az adathalmaz konkrét értékeinek megismerését hány szabadon választható független jellemző közlésével lehet egyenértékűnek tekinteni. Amennyiben a mindenkori próbastatisztika értéke kisebb, mint a kritikus érték, a nullhipotézist elfogadjuk, ellenkező esetben pedig elutasítjuk.

Az alábbiakban néhány, a légtechnikai szakágból vett gyakorlati példán keresztül szeretnénk bemutatni a matematikai statisztika alkalmazását a mérési adatok (minta) korrekt értékeléséhez. A példák bemutatása és megoldása során feltételezzük, hogy a mért adatok normális eloszlást követnek, hiszen a természetben előforduló jelenségeket jellemző valószínűségi változók között számos normális eloszlást követ. E feltételezés alapja a centrális határeloszlás tétel, amely szerint bármilyen eloszlású sokaságból vett minták számtani középértéke közelítőleg normális eloszlást követ az eredeti eloszlás várható értéke kerül. Ez különösen igaz abban az esetben, amikor növekszik a minta elemszáma, illetve egy valószínűségi változót több, egymástól független hatás határoz meg.

 

További részletek lapunk 2015/6-os számának nyomtatott változatában található, illetve a teljes cikk pdf-formátumban is rendelkezésre áll (regisztráltaknak havonta egy alkalommal, előfizetőknek korlátlanul).

A teljes cikk letöltéséhez jelentkezzen be!